9. 행축소에 의한 행렬식 계산

목차

• 행축소에 의한 행렬식 계산

Elementary Linear Algebra [Anton]을 참고하여 작성하였습니다.

행축소에 의한 행렬식 계산

• 이 방법은 여인수 전개보다 계산량을 줄일 수 있기 때문에 크기가 큰 행렬에 더욱 효율적입니다.
• 주어진 행렬을 행사다리꼴(row echelon form)로 줄여 행렬식을 계산하는 방법입니다.
• 정방행렬에 대한 기본 행연산이 행렬식 값에 미치는 영향
  • B가 A의 한 행 또는 열에 스칼라 k를 곱해서 얻은 행렬이라면, det(B) = kdet(A)입니다.
  • B가 A의 두 행 또는 열을 교환해서 얻은 행렬이라면, det(B) = -det(A)입니다.
  • B가 A의 한 행(또는 열)의 상수 배를 다른 행(또는 열)에 더해서 얻은 행렬이라면 det(B)=det(A)입니다.
• 정식 증명 대신 3x3 행렬의 행렬식을 예로 살펴보도록 하겠습니다.
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    • 3행을 기준으로 여인수전개를 해보게 되면은 부호가 반대임을 확인할 수 있습니다.
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    • 여기서 두 번째 항은 두 번째 행과 첫 번째 행이 동일하기 때문에 행렬식이 0이 됩니다.
    • 따라서 det(B) = det(A)가 됩니다.
• 기본행렬에 대한 행렬식 (E : n x n 기본행렬)
  • E가 I의 한 행에 영이 아닌 스칼라 k를 곱해서 얻은 기본행렬이라면, det(E) = k
  • E가 I의 두 행을 교환하여 얻은 기본행렬이라면, det(E) = -1
  • E가 I의 한 행의 상수배를 다른 행에 더하여 얻은 기본 행렬이라면 det(E) = 1
• [예제] 기본행렬의 행렬식
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• A가 두 비례하는 행 또는 열을 갖는 정방행렬이라면, det(A) = 0입니다.
  • 한 행에 적당한 상수를 곱하여 남은 행에 더함으로써 0으로만 이루어진 행을 만들 수가 있기 때문입니다. 여인수 전개를 생각해 보면 0으로만 존재하는 행이 있다면 det가 0이 됩니다.
  • 비례하는 예시
    • 아래 예시는 모두 det(A)=0입니다. 
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• 행축소에 의한 행렬식 계산
  • 기본 행연산을 이용하여 상삼각행렬(=행사다리꼴)로 축소하게 되면은 행렬식을 손쉽게 구할 수 있게 됩니다.
  • [예제] 행축소를 이용한 행렬식 계산
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    • 계산 과정
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  • [예제] 열연산을 이용한 행렬식 계산
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      • 기본 행연산을 이용하여 A를 행사다리꼴로 줄여서 계산할 수 도 있지만, 제 1열에 -3배를 제4열에 더하는 작업을 하면 A를 하삼각행렬로 바꿔 빠르게 연산할 수 있습니다. (det(A) = det(A^T) 이기 때문에 이렇게 연산해도 동일하게 적용됩니다.)
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  • [예제] 행연산(Row Operations)과 여인수 전개(Cofactor Expansion)
    • 행연산만을 이용해서 행사다리꼴(또는 상삼각행렬)로 만들어서 계산해도 되지만, 행열이 커지게 되면 이것또한 다소 번거로울 수 있습니다. 이럴 경우는 행연산과 여인수 전개를 혼합하여 사용하는 것이 행렬식을 계산하는데 효율적일 수 있습니다.
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