7. 대각 행렬, 삼각 행렬, 대칭 행렬

목차

Elementary Linear Algebra [Anton]을 참고하여 작성하였습니다.

대각행렬(diagonal matrix)

• 주대각선 이외의 모든 원소들이 0인 정방행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라고 합니다.
  
  • 예시
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• 일반적인 n x n 대각 행렬
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• 대각행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 주대각선상의 각 원소가 모두 0이 아닌 것입니다. 
  • 대각행렬의 역행렬
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• 대각행렬의 거듭제곱
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• [예제] 대각행렬의 역과 거듭제곱
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삼각행렬(triangular)

• 주대각선 아래의 모든 원소가 0인 정방행렬을 상삼각행렬(upper triangular)이라 하고, 주대각선 위쪽의 모든 원소가 0인 정방행렬을 하삼각행렬(lower triangular)이라고 합니다.
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  • 참고로 대각행렬은 상삼각행렬이면서 동시에 하삼각행렬입니다. 그 이유는 주대각선 아래와 위쪽의 모든 원소가 0이기 때문입니다. 
• 삼각행렬의 기본 성질
  • 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이고 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬입니다.
  • 하삼각행렬들의 곱은 하삼각행렬이고 상삼각행렬들의 곱은 상삼각행렬입니다.
  • 삼각행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 그것의 주 대각선상의 원소가 모드 0이어야 합니다.
  • 가역인 하삼각행렬의 역은 하삼각행렬이고 가역인 상삼각행렬의 역은 상삼각행렬입니다.

대칭행렬(symmetric)

• 정방행렬 A가 A=A^T일 때 대칭행렬(symmetric)이라고 합니다.
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• 대칭행렬의 성질
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  • 대칭행렬의 곱은 대칭행렬이 아닙니다. (단, AB=BA (교환 가능) 하다면 두 대칭행렬의 곱은 대칭행렬입니다.)
    • (AB)^T = B^TA^T = BA가 되는데 즉, (AB)^T = AB가 되기 위해서는 AB=BA가 되는 교환 가능(commute)해야 합니다. 교환가능하지 않다면 대칭행렬의 곱은 대칭행렬이 아닙니다.
    • 예시
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  • A가 가역인 대칭행렬이면 A^(-1)도 대칭행렬이다.
    • A=A^T 로부터,가 성립합니다. 따라서 A^(-1)은 대칭행렬입니다.
• AA^T와 A^TA는 항상 대칭행렬입니다. 
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