4. 행렬의 대수적 성질 / 역행렬

목차

행렬 연산의 성질들

• 행렬 연산의 성질들
  • 
    • (Commutative law for matrix addition : 덧셈에 대한 교환법칙)
    • (Associative law for matrix addition : 덧셈에 대한 결합법칙)
    • (Associative law for matrix multiplication : 곱셈에 대한 결합법칙)
    • (Left distributive law : 왼쪽 분배법칙)
    • (Right distributive law : 오른쪽 분배법칙)

행렬 곱셈의 성질

• 행렬 곱셈은 순서가 중요합니다. 실수에서는 항상 ab=ba지만 행렬에서는 AB와 BA가 같지 않은 경우가 3가지가 있습니다. (즉, 교환법칙이 성립하지 않음)
  1. AB는 정의되나 BA는 정의되지 않을 경우 (예를 들어, A는 2x3 B는 3x4)
  2. AB와 BA는 정의되나 크기가 서로 다름 (예를 들어, A는 2x3 B는 3x2)
  3. AB와 BA가 모두 정의되고 크기도 같지만 두 행렬이 서로 다른 경우(아래 예시 참고)
     
     • [3번 예시]
       
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영행렬

• 다음과 같이 모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라고 합니다.
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• 영행렬을 언급한 이유는 다음 이유 때문입니다.
  • 실수에서는 교환 법칙이 성립하기때문에 다음 두 가지 성질이 성립합니다.
    1. ab=ac이고, a≠0이면 b=c입니다.  [소거법칙(cancellation law)]
    2. ab=0이면 a=0이거나 b=0입니다.
  • 그러나 행렬에서는 곱셈에서의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 위의 법칙이 성립하지 않습니다.
    • [1번이 성립하지 않는 예시]
      • A, B, C가 다음과 같을때, B와 C는 다르지만 AB와 AC는 같게 됩니다.
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      • 따라서 행렬에서는 AB=AC라고 해서 B와 C가 반드시 같은 것이 아닙니다.
    • [2번이 성립하지 않는 예시]
      
      • A와 B가 다음과 같을때 AB=0이 됩니다. 
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      • 따라서 행렬 AB=0이라고 해서 A나 B둘중 하나 이상이 반드시 영행렬이 아닙니다.

단위행렬(unit matrix)

• 주대각선 상의 원소들은 1이고 나머지 원소들은 모두 0이면 이러한 행렬을 단위행렬(unit matrix) 또는 항등행렬(identity matrix)라고 합니다. (단위행렬은 I 로 표시합니다.)
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• 단위행렬은 실수에서 1이 곱셈에서 a x 1 = 1 x a = a의 역할을 하듯이, 행렬의 곱셈에서 같은 역할을 합니다.
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역행렬(Inverse)

• 실수에서 0이 아닌 모든 실수는 a x a^(-1) = a^(-1) x a =1의 성질을 만족하는 역수 a^(-1)을 갖습니다. 이처럼 행렬에서 이와 유사한 결과를 얻기 위해 다음을 정의합니다.
• 정의 : 만약 A가 정방행렬이고 AB=BA=I를 만족하는 같은 크기의 B가 존재한다면 A는 가역(invertible) 또는 nonsingular라고 하고 B를 A의 역행렬(inverse)이라고 합니다. 만약 그와 같은 행렬 B가 존재하지 않으면 A는 특이행렬(singular)이라고 합니다. 
• 역행렬 예시를 살펴보겠습니다. 다음예시를 보면 A와 B는 가역이고 서로가 서로에게 역행렬이 되는 것을 볼 수 있습니다.
  
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• 그럼 이번에는 특이행렬(singular)의 예시를 보겠습니다. 
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    • 위 행렬 A가 특이행렬임을 보이기 위해서 AB=BA=I를 만족하는 어떠한 3 x 3 행렬 B도 존재하지 않음을 보여야 합니다. 이를 위해서 c1, c2, 0를 A의 열벡터로 놓겠습니다. 그러면 임의의 3x3 행렬 B에 대해서 다음과 같이 표현됩니다. 0으로 된 열이 있다는 것은 BA≠ I 임을 의미하므로 A는 가역이 아닙니다.
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• 2 x 2 행렬 A가 다음과 같다고 할 때, A가 가역(invertible) 일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
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  • 행렬 A가 가역일 필요충분조건은 ad-bc ≠ 0입니다. 이때의 역행렬은 다음과 같습니다.
    
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역행렬의 성질

• 행렬의 역행렬이 존재한다면, 그 역행렬은 오직 하나뿐입니다.
  • B와 C가 모두 A의 역행렬이면 B=C입니다. 
  • 증명
    • 두 행렬 B와 C가 모두 A의 역행렬이라고 가정해 보면 다음과 같습니다.
      • AB = BA = I
      • AC = CA = I
    • 이때, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C 가 되어 B와 C가 같다는 것을 알 수 있습니다.
    • 즉, 역행렬이 존재한다면 그것은 유일한 것입니다.
  • 행렬 A와 B가 같은 크기의 가역 행렬이면 AB는 가역이고 (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)입니다.
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    • 증명
      • (AB)(B^(-1)A^(-1)) = (B^(-1)A^(-1))(AB) = I임을 보이면 됩니다. 
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    • 마찬가지로 세 개 또는 더 많은 행렬의 곱에 대해서도 적용됩니다.
      • (ABC)^(-1) = C^(-1)B^(-1)A^(-1)
  • 행렬의 거듭제곱
    • 정의 
      • 만약 A가 정방행렬이면 A의 음이 아닌 정수에 대한 거듭제곱은 다음과 같이 정의합니다.
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      • 그리고 A가 가역이면 A의 음의 정수에 대한 거듭제곱도 다음과 같이 정의합니다.
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      • 실수와 마찬가지로 정의되므로 음이 아닌 지수에 대한 법칙들도 성립합니다.
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    • 성질
      • 행렬 A가 가역이고 n이 음이 아닌 정수라고 할 경우 다음 성질을 얻습니다.
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